Tehtävä 12, prelit

[Hajoamislaki]

Energiajuomatölkkki on ympyrälieriön muotoinen ja tehty pellistä. Tölkin pohjan ja kannen paksuus on kaksinkertainen vaippaan verrattuna. Mikä olisi oltava tölkin pohjan halkaisijan ja korkeuden suhde, jotta tölkki olisi ekologisesti oikein valmistettu eli pellin kulutus olisi mahdollisimman pieni?

Mitenköhän lähettäs etenemään tässä?

Pellin kulutus ( tai siis ympyrälieriön kokonaispinta-ala ) on A = 4pii*r^2 + 2pii*r*h

Mitähän tuo ekologisuus oikein tarkoittaa?

A / V täytyy olla mahdollisimman pieni? Onko näin?

Eli pitäisi siis hakea A:lle mahdollisimman pieni arvo? Käytetään vissiin A:n derivaattaa?
Ja kulkukaavio pitäisi osata muodostaa? Vai miten tämä nyt menee... AIVAN PIHALLA

[Hajoamislaki]

Mmm.. eipä se tästä kyllä lähtenyt yhtään enempää aukeamaan.

Tölkin pinta-ala, A = 4pii*r^2 + 2pii*rh
Tölkin tilavuus, V = 2pii*r^2*h

jolloin V/A oltava mahdollisimman suuri, jotta tölkki olisi mahdollisimman ekologisesti valmistettu.

No ei siinä mitään, V/A lauseke muuttujan r suhteen

V/A = rh / ( 2r + h ) , jossa r on tölkin pohjan ja kannen säde. h tölkin korkeus.

Siitä derivaatta, D( V/A ) = ( 2r + h - 2rh ) / ( 2r + h )^2

Nähdään, että derivaatan nollakohta on kohdassa r = -h / ( 2 - 2h ).

Nyt ois kyllä korkeat neuvot tarpeen, että miten todistan, että tämä derivaatan nollakohta on samalla funktion ( V / A ) maksimi ? Kun tuon kulkukaavion olen aina osannut tehdä, mutta nytpä se ois olekkaan niin helppoa, kun on 2 muuttujaa...

[Tyytymaton]

V = pii*h*r^2 <==> h = V/(pii*r^2)

A = 2*pii*r*h + 4*pii*r^2      || Sijoitetaan h = V/(pii*r^2) ja supistetaan
  = 2*V/r + 4*pii*r^2

A/V = 2/r + (4*pii*r^2)/V

(A/V)'(r) = -2/r^2 + (8*pii*r)/V
          = 0

(8*pii*r)/V = 2/r^2

V = 4*pii*r^3

h = V/(pii*r^2)
  = (4*pii*r^3) / (pii*r^2)
  = 4r

d = 2r

d/h = 2r / 4r
    = 1/2

Ekologisuus tosiaan varmaan tarkoittaa pienintä mahdollista pellin kulutusta. Jos kirjoituksissa haluaisi 6 pistettä saattaisi joutua ottamaan huomioon paksuuden esim. symbolilla a, jolloin ei laskettaisi pinta-alaa vaan vaikka pellin kulutusta P:

P = 2*pii*r*h*a + 2*pii*r^2*2a
  = A*a

[kvaakki]

Tyytymaton kirjoitti:

Ekologisuus tosiaan varmaan tarkoittaa pienintä mahdollista pellin kulutusta. Jos kirjoituksissa haluaisi 6 pistettä saattaisi joutua ottamaan huomioon paksuuden esim. symbolilla a, jolloin ei laskettaisi pinta-alaa vaan vaikka pellin kulutusta P:

P = 2*pii*r*h*a + 2*pii*r^2*2a
  = A*a

Tulee vieläkin vähän monimutkaisempaa eikä edes yksiselitteistä. Kiedotaanko vaippapelti pohjapeltien ympärille vai onko vaipan ulkohalkaisija sama kuin pohjan halkaisija, ts. onko tölkin korkeus vaipan korkeus h vai h+4a ja tölkin halkaisija pohjan halkaisija 2r vai 2r+2a? Tilavuudessakin tulee ongelmia: onko sisäsäde r vai r-a, onko korkeus h vai h-4a? Olin tekemässä samaa preliä ja vaikka tykkään ääriarvolaskuista, näiden pohdintojen jälkeen päätin tehdä järkevämpiä ja nopeampia tehtäviä. Pinta-alaan perustuvassa ratkaisussa oletetaan pellin paksuus nollaksi, mikä on kyllä ihan ok, jos tölkki on tarpeeksi suuri.

[Tyytymaton]

kvaakki kirjoitti:

Tulee vieläkin vähän monimutkaisempaa eikä edes yksiselitteistä. Kiedotaanko vaippapelti pohjapeltien ympärille vai onko vaipan ulkohalkaisija sama kuin pohjan halkaisija, ts. onko tölkin korkeus vaipan korkeus h vai h+4a ja tölkin halkaisija pohjan halkaisija 2r vai 2r+2a? Tilavuudessakin tulee ongelmia: onko sisäsäde r vai r-a, onko korkeus h vai h-4a? Olin tekemässä samaa preliä ja vaikka tykkään ääriarvolaskuista, näiden pohdintojen jälkeen päätin tehdä järkevämpiä ja nopeampia tehtäviä. Pinta-alaan perustuvassa ratkaisussa oletetaan pellin paksuus nollaksi, mikä on kyllä ihan ok, jos tölkki on tarpeeksi suuri.

En tosiaan ole varma YTL:n vaatimuksista, mutta sen voisi kuvitella olevan mahdollista. Pellin varmaan oletettaisiin olevan niin ohutta, ettei se merkittävästi vaikuta tölin tilavuuteen tai pellin kulutukseen. Näin paksuuden huomiointi tosiaan jää pelkäksi a:lla ja 2a:lla kertomiseksi. Ainakin perustelisin, miksi pohjan ja kannen pinta-alassa on kerroin 4 eikä 2.

[kvaakki]

No mutta jos käytetään pellin kulutuksena tuota 2*pi*r*h*a + 2*pi*r^2*2a, saadaan tilavuudelle monta vaihtoehtoa tulkinnasta riippuen: pi*r^2*(h-4a) tai pi*(r-a)^2*h, eikä tehtävänanto sulje pois esimerkiksi sitäkään, että vaippapelti on toisen pohjapellin ympärillä ja päädyissä on vielä toiset pohjapellit. Tilavuus pi*r^2*h tarkoittaisi tässä sitä, että pohjapeltien ja vaipan särmät ovat kohdakkain.

Oikeastaan jos ollaan vielä tarkempia, vaippapellin pituus on lieriöksi käärittäessä tulkinnanvarainen, koska sisäkehän täytyy painautua hieman kasaan, jotta päät osuvat vastakkain. Menee niin järjettömäksi, että paras ratkaisutapa on kyllä pinta-alan kautta. Tämä preli on muuten MAOLin tekemä, YTL:n kanssa ei olla nyt tekemisissä.

[Phatency]

kvaakki kirjoitti:

No mutta jos käytetään pellin kulutuksena tuota 2*pi*r*h*a + 2*pi*r^2*2a, saadaan tilavuudelle monta vaihtoehtoa tulkinnasta riippuen: pi*r^2*(h-4a) tai pi*(r-a)^2*h, eikä tehtävänanto sulje pois esimerkiksi sitäkään, että vaippapelti on toisen pohjapellin ympärillä ja päädyissä on vielä toiset pohjapellit. Tilavuus pi*r^2*h tarkoittaisi tässä sitä, että pohjapeltien ja vaipan särmät ovat kohdakkain.

Oikeastaan jos ollaan vielä tarkempia, vaippapellin pituus on lieriöksi käärittäessä tulkinnanvarainen, koska sisäkehän täytyy painautua hieman kasaan, jotta päät osuvat vastakkain. Menee niin järjettömäksi, että paras ratkaisutapa on kyllä pinta-alan kautta. Tämä preli on muuten MAOLin tekemä, YTL:n kanssa ei olla nyt tekemisissä.

Voihan sen toisaalta niinkin laskea, että on koko tölkin tilavuus V1 (lieriö) ja sisällön tilavuus V2 (lieriö). Vaipan tilavuutta ei lasketa pinta-alan kaavan kautta, vaan se saadaan V1 - sisältö - päätypalat. Jos siis ajatellaan, että kansi ja pohja ovat vaipan sisällä.

Vastaukseksi sain tällä tavalla saman: (aika vastaavilla sijoituksilla kuin tyytymätön)

h=4(k+r)
jossa k on pellin paksuus. Mutta koska k+r on koko tölkin säde (r vain sisällön), suhteeksi tulee täysin sama. Mutta miksi?

[kvaakki]

Ai no mutta niinhän siitä pitääkin tulla. Kun tuossa paksun pellin tapauksessa pellin paksuus laitetaan nollaksi, sisäsäde kasvaa samaksi säteeksi kuin pinta-alalaskussa ja tuloksesta h=4(k+r) tulee h=4R. Ja sillä, onko pohjalevyt vaipan sisä- vai ulkopuolella, ei olekaan merkitystä, vaan pellin tilavuus on aina sama.

   _______
| |_______
| |_______
| |
__________
__________
__________
| |

Noissa kuvissa siis sivulta katsottuna näkyvä tölkin yläreuna. Kun pidetään ulkokorkeus ja ulkohalkaisija samana, pellin kulutus on sama. Vielä on kuitenkin jäljellä tämä tilanne, josta nyt ainakin tulee eri tulos:

   ______
   ______
   ______
| |
| |

Tuo ei tosin vaikuta järkevältä, mutta tehtävänanto ei sulje sitä pois, ja ehkä levyt on hitsattu kunnolla kiinni.

[Phatency]

Tajusinkin miksi tulokset olivat samoja "pinta-alaversiossa" ja omassa tilavuusversiossani.

Se pinta-alalasku ei ole oikea pinta-alalasku.

Tuossa tyytymättömän versiossa ei lasketa pinta-alaa ollenkaan, vaan siinä oletetaan pellin paksuus ykköseksi. Tuota kerrointa (4) ei yksinkertaisesti saa perusteltua ilman paksuutta. Eihän pohjan ja kannen pinta-ala tietenkään kaksinkertaistu. Jos paksuus oletetaan nollaksi, sillä kertominen ei ole mielekästä eikä myöskään kaksinkertaisellakaan paksuudella siis. Ja täällä pyörinyt "mitättömän paksu" on myös aika hämärä perustelu, sillä joka tapauksessa se paksuus pitäisi merkitä ja vielä limesit päälle, jossa paksuus lähestyy nollaa (joka tietenkin olisi aivan turhaa, koska se ei haittaa lopulta). Ja tällaiset numeeristen arvojen käyttämiset muuttujan sijastahan ovat aina olleet YTL:n suosikkeja takertua (vaikka tämä koe nyt tietenkin olikin MAOLin).

Se suhde mitä minä lähdin derivoimaan ja pääsin samaan tulokseen oli
V1/V2, jossa V1 on kaiken pellin tilavuus ja V2 sisällön. Tyytymätön derivoi oikeasti täysin samaa, mutta numeerisella paksuuden arvolla. Sama funktio, joka on vain kielellisesti piilotettu eri muotoon.

kvaakki kirjoitti:

Ja sillä, onko pohjalevyt vaipan sisä- vai ulkopuolella, ei olekaan merkitystä, vaan pellin tilavuus on aina sama.

Ei tosiaan ole väliä ovatko ne sisä vai ulkopuolella - kunhan ottaa huomioon, että sisällön tilavuus lasketaan tällöin ehkä eri tavalla (riippuen varmaan miten muuttujansa valitsee).

[kvaakki]

Mjoo, niinpä kai. Kiinnostaisi nähdä malliratkaisu. Ainakin meillä on prelin palautus keskiviikkona, joten silloin varmaan saa tietää, miten maol-ihmiset sen ajatteli.