FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

18.3.2020

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää taulukkokirjaa ja koejärjestelmän tarjoamia perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Lisäksi saat käyttöön oman laskimesi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa neljään tehtävään.

1. Yhtälöt ja epäyhtälöt 12 p.

Tässä tehtävässä riittää pelkkä vastaus. Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen enimmäispituus on 30 merkkiä.

1.1. Ratkaise yhtälö -4x+2=0 4 x + 2 = 0 . 2 p.

Vastaus:

1.2. Ratkaise epäyhtälö 2x+4 < -6 2 x + 4 < 6 . 3 p.

Vastaus:

1.3. Ratkaise yhtälö x^6+x^3=0 x 6 + x 3 = 0 . 3 p.

Vastaus:

1.4. Mitkä luvut x\in\mathbf{R} x R toteuttavat molemmat epäyhtälöt -3x + 6 < 0 3 x + 6 < 0  ja  x^2-9 < 0 x 2 9 < 0 ? 4 p.

Vastaus:

2. Vektorilaskuja 12 p.

Tutkitaan vektoreita \overline{a}=7\,\overline{i} + 2\,\overline{j} a ¯ = 7 i ¯ + 2 j ¯  ja  \overline{b}=-3\,\overline{i} + 5\,\overline{j} b ¯ = 3 i ¯ + 5 j ¯ .
Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, joten \overline{i} i ¯ ja \overline{j} j ¯ kirjoitetaan muodossa i ja j. Kunkin vastauksen enimmäispituus on 30 merkkiä.

2.1. Laske \overline{a}+\overline{b} a ¯ + b ¯ . 2 p.

\overline{a}+\overline{b} a ¯ + b ¯ =

2.2. Laske \overline{b}-2\overline{a} b ¯ 2 a ¯ . 2 p.

\overline{b}-2\overline{a} b ¯ 2 a ¯ =

2.3. Laske \bigl|\,\overline{b}\,\bigr|^{\,2} | b ¯ | 2 . 2 p.

\bigl|\,\overline{b}\,\bigr|^{\,2} | b ¯ | 2 =

2.4. Laske vektorin \overline{a}+\overline{b} a ¯ + b ¯ pituus kahden desimaalin tarkkuudella. 2 p.

Vastaus:

2.5. Laske \overline{a}\cdot \overline{b} a ¯ b ¯ . 2 p.

\overline{a}\cdot \overline{b} a ¯ b ¯ =

2.6. Laske vektorien \overline{a} a ¯ ja \overline{b} b ¯ välinen kulma asteen tarkkuudella. 2 p.

Vastaus: astetta.

3. Pinta-alan ääriarvo 12 p.

  1. Laske integraali \displaystyle\int_0^2 \sin\bigl(\tfrac\pi2 x\bigr) \, dx 0 2 sin ( π 2 x ) d x . (3 p.)
  2. Funktion f(x)=\sin\bigl(\tfrac\pi2 x\bigr) f ( x ) = sin ( π 2 x ) kuvaajan ja x x -akselin rajoittamasta alueesta leikataan pystysuora kaistale suorilla x=t x = t ja x=t+\frac12 x = t + 1 2 . Millä parametrin arvolla 0\le t\le \frac32 0 t 3 2 kaistaleen pinta-ala on suurin mahdollinen? (9 p.)
 

4. Suurin etäisyys 12 p.

Piste (x, y) ( x , y ) toteuttaa epäyhtälön x^4 + y^2 \leq 1 x 4 + y 2 1 . Määritä pisteen (x, y) ( x , y ) suurin mahdollinen etäisyys origosta.

 

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

5. Kuvioita ympyrässä 12 p.

Ympyrän säde on 4. Sen sisälle piirretään kolme käyrää, jotka yhdistävät ympyrän vaakasuoran halkaisijan päätepisteet kuvion 5. A osoittamalla tavalla. Jokainen käyrä koostuu kahdesta puoliympyrän kaaresta, ja ne jakavat ympyrän vaakasuoran halkaisijan neljään yhtä suureen osaan. Yhdessä käyrät jakavat ympyrän neljään eriväriseen alueeseen. Osoita, että niillä kaikilla on sama pinta-ala.

 

6. Paraabeli ja piste 12 p.

Tässä tehtävässä vastaukset voi antaa joko tarkkoina arvoina tai likiarvoina kahden desimaalin tarkkuudella.

Tarkastellaan paraabelia y = x^2 y = x 2 ja pistettä A=(1, -1) A = ( 1 , 1 ) .

  1. Mihin paraabelin pisteisiin piirretyt tangentit kulkevat pisteen A A kautta? (4 p.)
  2. Määritä pistettä A A lähinnä oleva paraabelin piste ja sen etäisyys pisteestä A A . (8 p.)
 

7. Yatzy 12 p.

Yatzy-noppapelissä pelaaja heittää viittä noppaa. Tutkitaan tarkemmin heittoja, joiden tuloksena saadaan täyskäsi tai neliluku yhdellä viiden nopan heitolla. Täyskädellä tarkoitetaan tulosta, jossa yksi silmäluku esiintyy kolme kertaa ja joku toinen silmäluku kaksi kertaa. Neliluvussa esiintyy neljä samaa silmälukua ja yksi muu silmäluku.
  1. Määritä todennäköisyys sille, että saadaan täyskäsi, jossa esiintyy kolme kuutosta ja kaksi viitosta. (3 p.)
  2. Määritä todennäköisyys sille, että saadaan täyskäsi. (6 p.)
  3. Määritä todennäköisyys sille, että saadaan neliluku. (3 p.)
 

8. Polynomien jakoalgoritmi 12 p.

Polynomien jakoalgoritmilla voi jakaa esimerkiksi polynomin

p(x)=x^6-4 x^4+2 x^3+7 x^2-3x+4 p ( x ) = x 6 4 x 4 + 2 x 3 + 7 x 2 3 x + 4

polynomilla q(x)=x^2-3 x+1 q ( x ) = x 2 3 x + 1 . Tässä on suoritettu jakoalgoritmin ensimmäiset vaiheet:

\begin{align*} p(x) & = x^4 q(x) + 3x^5-5x^4+2x^3+7x^2-3x+4 \\ & = (x^4+3x^3)q(x) +4x^4-x^3+7x^2-3x+4. \end{align*} p ( x ) = x 4 q ( x ) + 3 x 5 5 x 4 + 2 x 3 + 7 x 2 3 x + 4 = ( x 4 + 3 x 3 ) q ( x ) + 4 x 4 x 3 + 7 x 2 3 x + 4.

Selitä sanallisesti, mitä tässä on tehty, ja suorita jakoalgoritmi välivaiheineen loppuun asti.
 

9. Käänteisfunktion derivaatta 12 p.

Anna esimerkki funktiosta f f , jonka käänteisfunktion derivaatalle pätee (f^{-1})'(2)=\frac12 ( f 1 ) ( 2 ) = 1 2 . Muista perustella, miksi esimerkilläsi on vaadittu ominaisuus.
 

B2-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

10. Suuren luvun logaritmi 12 p.

Luvun a=1234\dots 9101112\dots 99100101\dots 998999 a = 1234 9101112 99100101 998999 kymmenjärjestelmäesitys saadaan kirjoittamalla luvut 1,2,3,\dots ,998 1 , 2 , 3 , , 998 ja 999 999 peräkkäin.

  1. Millä kokonaisluvulla k k pätee a\approx 1{,}23 \cdot 10^k a 1 , 23 10 k ? (3 p.)
  2. Määritä luvun \ln a ln a kokonaisosa. (9 p.)
 

11. Lukujono 12 p.

Olkoon a_1=\sqrt{2}\, a 1 = 2 ja \,a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} a n + 1 = 2 + a n , kun n\ge 1 n 1 .

  1. Osoita induktiolla, että jono (a_n) ( a n ) on kasvava. (4 p.)
  2. Osoita induktiolla, että a_n< 2 a n < 2 kaikilla n\ge 1 n 1 . (4 p.)
  3. Määritä lausekkeen

    \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}} 2 + 2 + 2 +

    arvo tulkitsemalla se jonon (a_n) ( a n ) raja-arvoksi. (4 p.)

 

12. Geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä 12 p.

Kahden positiivisen luvun a a ja b b geometrinen keskiarvo on \sqrt{ab} a b .

  1. Anna esimerkki välin 2–100 kahdesta eri kokonaisluvusta a a ja b b , joille \sqrt{ab}\, a b on kokonaisluku. (3 p.)
  2. Satunnaislukugeneraattori arpoo toisistaan riippumatta kaksi kokonaislukua väliltä 1–100 niin, että jokaisen luvun todennäköisyys on \frac{1}{100} 1 100 . Mikä on todennäköisyys sille, että arvottujen lukujen geometrinen keskiarvo on kokonaisluku? Voit laskea tapahtuman klassisen todennäköisyyden tarkasti tai esittää sille simulointiin perustuvan arvion. (9 p.)
 

13. Trigonometrisiä epäyhtälöitä 12 p.

Olkoon n n positiivinen kokonaisluku. Tarkastellaan funktioita

f(x)=\sin \left( \frac xn\right) \quad \text{ja}\quad g(x)=n\cos x. f ( x ) = sin ( x n ) ja g ( x ) = n cos x .

Osoita, että yhtälön f(x)=g(x) f ( x ) = g ( x ) ratkaisulle x_0\in [0,\frac\pi2] x 0 [ 0 , π 2 ] pätee g'(x_0) < -n+1 g ( x 0 ) < n + 1 .

 

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.