FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

18.3.2020

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää taulukkokirjaa ja koejärjestelmän tarjoamia perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Lisäksi saat käyttöön oman laskimesi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa neljään tehtävään.

1. Sievennys 12 p.

Poista sulut ja sievennä lausekkeet.
Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, joten toinen potenssi x^2 x 2 kirjoitetaan vastauslaatikkoon muodossa x^2. Kunkin vastauksen maksimipituus on 30 merkkiä.

1.1. Poista sulut ja sievennä lauseke. 2 p.

5y-(3y-1) 5 y ( 3 y 1 ) =

1.2. Poista sulut ja sievennä lauseke. 2 p.

6(2x-8) 6 ( 2 x 8 ) =

1.3. Poista sulut ja sievennä lauseke. 2 p.

(x+4)(x-4) ( x + 4 ) ( x 4 ) =

1.4. Poista sulut ja sievennä lauseke. 2 p.

(4x-2)^2 ( 4 x 2 ) 2 =

1.5. Poista sulut ja sievennä lauseke. 2 p.

\frac{9(xy)^2}{-3x} 9 ( x y ) 2 3 x =

1.6. Poista sulut ja sievennä lauseke. 2 p.

2x(3x-y)-(2y+2x)(x-3y) 2 x ( 3 x y ) ( 2 y + 2 x ) ( x 3 y ) =

2. Murtoluvut 12 p.

Laske alla olevat murtolukulaskut kohdissa 2.1.–2.4. ja ratkaise yhtälö kohdassa 2.5.
Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, joten murtoluku \frac{x}{y} x y kirjoitetaan muodossa x/y. Kunkin vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä.

Vain tarkka arvo käy vastaukseksi.

2.1. Laske murtolukulasku. 2 p.

1 \frac7{15} - \frac9{15} 1 7 15 9 15 =

2.2. Laske murtolukulasku. 2 p.

\frac37 + \frac1{3} 3 7 + 1 3 =

2.3. Laske murtolukulasku. 2 p.

\frac14 \cdot 3\frac2{7} 1 4 3 2 7 =

2.4. Laske murtolukulasku. 2 p.

\frac38 : \frac6{11} 3 8 : 6 11 =

2.5. Ratkaise yhtälö \frac13x+\frac14 = \frac15 x + \frac16 1 3 x + 1 4 = 1 5 x + 1 6 . 4 p.

x = x =  

3. Mallien luokittelu 12 p.

Alla on esitetty kuusi mallia. Merkitse kunkin lausekkeen osalta, kuvaako se suoraan verrannollista tai kääntäen verrannollista riippuvuutta. Valitse lisäksi, onko kyseessä polynominen tai eksponentiaalinen malli. Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Vastauksia ei tarvitse perustella.

Lauseke Riippuvuus Mallin tyyppi
\frac{3}{y} 3 y
1 p. 1 p.
2^{x-0{,}6} 2 x 0 , 6
1 p. 1 p.
\frac{4 t-2}{3} 4 t 2 3
1 p. 1 p.
x^2+3x-1 x 2 + 3 x 1
1 p. 1 p.
7t+3t 7 t + 3 t
1 p. 1 p.
\frac{4x+2}{2x^2+x} 4 x + 2 2 x 2 + x
1 p. 1 p.

4. Nations League 12 p.

Nations League -jalkapalloturnaus järjestettiin ensimmäisen kerran vuonna 2018. Turnauksessa pelataan seuraavien sääntöjen mukaan:

  • Joukkueet on jaettu neljään liigaan: A, B, C ja D.
  • Molemmissa liigoissa A ja B on 12 joukkuetta, jotka on jaettu neljään kolmen joukkueen lohkoon.
  • Molemmissa liigoissa C ja D on 15 joukkuetta, jotka on jaettu yhteen kolmen joukkueen ja kolmeen neljän joukkueen lohkoon.
  • Jokaisessa lohkossa kukin joukkue pelaa lohkon kaikkia muita joukkueita vastaan kaksi kertaa: yhden kotipelin ja yhden vieraspelin.
  • Liigan A neljä lohkovoittajaa pelaavat lopputurnauksen, jossa on kaksi välieräottelua, yksi pronssiottelu sekä loppuottelu.

Kuinka monta ottelua pelataan yhdessä Nations League -turnauksessa?

 

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

5. Times Square 12 p.

Arvioi tekstin 5. A tietojen perusteella, kuinka monta ihmistä pitäisi olla neliömetrillä, jos juhlijoita todellakin olisi kaksi miljoonaa. Laske, kuinka monta neliösenttimetriä maata kullakin kahdella miljoonalla ihmisellä olisi keskimäärin jalkojensa alla, jos juhlijoita olisi kaksi miljoonaa. Arvioi myös, onko tämä enemmän vai vähemmän kuin aikuisen ihmisen jalkapohjien pinta-ala.
 

6. Lapsiperhetilastoja 12 p.

Taulukossa 6. A on esitetty lapsiperheiden lasten lukumäärä Suomessa vuoden 2017 lopussa.

  1. Laske lapsiperheiden lasten lukumäärän moodi, mediaani ja keskiarvo. (6 p.)
  2. Mikä on suomalaisen lapsiperheen lapsen sisarusten lukumäärän keskiarvo? (6 p.)
 

7. Suklaarasia 12 p.

Suklaakonvehtirasia 7. A on muodoltaan särmiö, jonka pohja on säännöllinen kahdeksankulmio. Kahdeksankulmion sivun pituus on 4,2 cm ja rasian korkeus 6,6 cm. Laske rasian tilavuus.
 

8. Funktion väheneminen 12 p.

Selvitä derivaatan avulla, missä välin -1\le x\le 3 1 x 3 kohdassa funktio f(x)=2x^2-x+5 f ( x ) = 2 x 2 x + 5 vähenee nopeimmin.
 

9. Jaksollisuus / Nopan heitto 12 p.

Jos valitset tämän tehtävän, ratkaise joko 1. Jaksollisuus TAI 2. Nopan heitto. Voit valita kumman tahansa tehtävän riippumatta siitä, minkä opetussuunnitelman mukaisesti olet opiskellut.

  1. Jaksollisuus (Vanha opetussuunnitelma, ennen 1.8.2016 lukion aloittaneet) (12 p.)

    Kummalla funktiolla on lyhyempi jakso: f(t)=\sin(3t) f ( t ) = sin ( 3 t ) vai g(t)=\cos^2(2t) g ( t ) = cos 2 ( 2 t ) ? Perustele väitteesi.

  2. Nopan heitto (Uusi opetussuunnitelma, 1.8.2016 tai sen jälkeen lukion aloittaneet) (12 p.)

    Noppaa heitetään 10 kertaa. Mikä on todennäköisyys, että saadaan täsmälleen 2 kuutosta?

Kirjoita tähän vastauskenttään joko tehtävän 1. Jaksollisuus TAI tehtävän 2. Nopan heitto ratkaisu.

 

B2-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

10. Neuleyritys 12 p.

Naapurukset Pauli ja Johanna päättävät perustaa lasten neuleita valmistavan yrityksen.

  1. Yritys myy neuleita 70 euron kappalehinnalla. Kuinka monta tilausta tarvitaan kuukaudessa, jotta tulot kattavat taulukossa 10. A luetellut kulut? (4 p.)
  2. Pauli ja Johanna miettivät, että yrityksen olisi hyvä tehdä voittoa, ja tuumaavat, että tähän voisi päästä, jos kuukausittain valmistetaan ja myydään 100 neuletta. Riittävätkö kuukauden tarpeisiin varatut langat tähän, kun merinovillalanka maksaa 39 euroa kilolta ja yhteen neulepaitaan tarvitaan 250 grammaa lankaa? (4 p.)
  3. Aloittelevina yrittäjinä Paulilta ja Johannalta on jäänyt laskuissaan arvonlisävero sekä lomat huomioimatta. Kerro, miten näiden seikkojen ottaminen huomioon vaikuttaa siihen, kuinka paljon myyntituloja yritys tarvitsee ollakseen kannattava. Tietoa arvonlisäveron laskemisesta löytyy tekstistä 10. B. (4 p.)
 

11. Nelitahokas 12 p.

Nelitahokkaassa ABCD A B C D on AB = AC = BC = AD = BD = 1 A B = A C = B C = A D = B D = 1 . Mikä on nelitahokkaan suurin mahdollinen tilavuus?

Voit käyttää GeoGebra-tiedostoa 11. A tehtävän tilanteen hahmottamiseksi, mutta tämä ei ole välttämätöntä ratkaisun kannalta. Muista myös, että pelkät kokeilut eivät riitä matemaattisen väitteen perusteluksi.

 

12. Toisen asteen polynomi 12 p.

Tutkitaan toisen asteen polynomia p(x) p ( x ) . Polynomista tiedetään vain, että sen arvo kohdassa x = −2 x = 2 on negatiivinen ja että sen arvo kohdassa x = 1 x = 1 on positiivinen. Voiko näiden tietojen perusteella selvittää termin x^2 x 2 kertoimen etumerkin tai yhtälön p(x) = 0 p ( x ) = 0 ratkaisujen lukumäärän?
 

13. Meerin virheet 12 p.

Meeri on ratkaissut seuraavan tehtävän: Määritä funktion 2x^3 -7x^2+5x 2 x 3 7 x 2 + 5 x suurin arvo, kun -1\le x\le 3 1 x 3 . Hänen ratkaisunsa on seuraava:

Suurin arvo eli maksimi löydetään derivaatan avulla, ts. 6x^2-14x+5=0 6 x 2 14 x + 5 = 0 . Ratkaisukaavalla saadaan x=\frac{7\pm \sqrt{16}}{6} x = 7 ± 16 6 eli x=\frac{3}6=\frac12 x = 3 6 = 1 2 tai x=\frac{11}{6} x = 11 6 . Merkkikaavion avulla nähdään, että ensimmäinen näistä on maksimikohta, joten funktion suurin arvo on
6\cdot(\frac12)^2-14\cdot \frac12 + 5 = -\frac12\, 6 ( 1 2 ) 2 14 1 2 + 5 = 1 2 .

Selitä, mitä virheitä Meerin ratkaisussa on. Esitä myös korjattu versio ratkaisusta.

 

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.