Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Lausekkeet ja yhtälöt

Funktiot ja yhtälöt koskettavat jokaisen arkielämää. Esimerkiksi alennusmyynneistä saa enemmän irti, kun hallitsee prosenttilaskut. Mutta mihin kylpyhuoneen laatoittaja tai koiranomistaja tarvitsee suoraan ja kääntäen verrannollisuutta?

Yhtälö, funktio, verrannollisuus

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Lauseke on yhdistelmä numeroita, operaattoreita ja ryhmittelymerkkejä. Lausekkeissa voi olla yksi tai useampi muuttuja. Yhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan sen selvittämistä, millä muuttujien arvoilla lausekkeiden arvot ovat samat. Yhtälölle ei välttämättä ole ratkaisua, tai on myös mahdollista, että yhtälö on voimassa kaikilla muuttujien arvoilla.

Yhtälön molemmilla puolilla olevat lausekkeet voivat sisältää matemaattisia funktioita. Funktio pyrkii kuvaamaan riippuvuuksia kahden suureen (ominaisuuden) välillä.

Funktion jatkuvuus

Ylen arkistoista löytyneessä opetusvideossa esitetään, mitä jatkuva funktio merkitsee.

Funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko

Mitä funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko merkitsevät? Arkiston kätköistä löydetyllä videolla polynomifunktion ja rationaalifunktion määrittelyjoukot esitetään esimerkin avulla.

Suureiden välillä voi olla suhteita: toisen kasvaessa toinen saattaa kasvaa tai pienentyä samassa suhteessa. Puhutaan suoraan tai kääntäen verrannollisuudesta. Arkisia esimerkkejä suoraan tai kääntäen verrannollisista suhteista löytyy paljon. Jos ostamme kaksi kiloa hedelmiä, maksamme kaksi kertaa enemmän kuin yhdestä kilosta. Maalari ehtii maalata talon kahdessa päivässä. Kaksi maalaria hoitaisi homman yhdessä päivässä.

Treenaa:

Funktion piirtämistä
Pullaa myymässä
Funktion arvojen määrittämistä
Palkat funktioina
Yhtälön laskemista vakiokirjaimien kanssa
Sanallisia yhtälöitä
Yhtälön juurien määritys
Tulon nollasääntö
Yhtälön muodostamista
Yhtälön muodostamista ja taulukointia
Ongelmanratkaisua
Verrannollisuus

Suoraan ja kääntäen verrannollisuus

Kaksi suuretta ovat suoraan verrannollisia, jos toisen kasvaessa toinen kasvaa samassa suhteessa. Törmäämme suoraan verrannollisiin suureisiin päivittäin. Ajamme autolla tasaisella nopeudella. Kahdessa tunnissa ehdimme kaksi kertaa niin pitkälle kuin yhdessä tunnissa. Kaksi suuretta ovat kääntäen verrannollisia, jos toisen kasvaessa toinen pienenee samassa suhteessa. Myös kääntäen verrannollisia suhteita käytämme jokapäiväisissä tilanteissa. Maalari ehtii maalata talon kahdessa päivässä. Kaksi maalaria hoitaisi homman yhdessä. Yksin esiintyvälle laulajalle ja nelihenkiselle orkesterille maksetaan molemmille 100 € keikasta. Soittajat saavat kukin vain 25€.

Treenaa:

Suoraan verrannollisuus: koiranruoka
Kääntäen verrannollisuus: juuston myynti
Kääntäen verrannollisuutta

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Yhtälössä kaksi lauseketta on merkitty yhtä suuriksi. Kun yhtälöä ratkaistaan, pyritään selvittämään, millä muuttujilla näiden lausekkeiden arvo on sama. Yhtälölle ei aina ole olemassa ratkaisua, ja aina ei muuttujille saada lukuarvoa. Kun muuttujia on vain yksi, sitä merkitään yleensä kirjaimella x. Ensimmäisen asteen yhtälöitä on opiskeltu jo peruskoulussa.

Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Toisen asteen yhtälön ratkaisemista varten on kehitetty ratkaisukaava: ensin yhtälö kirjoitetaan siten, että kaikki termit ovat yhtälön vasemmalla puolella, jolloin oikealle puolelle jää nolla.

ax2 + bx + c = 0

Etsitään lausekkeesta kertoimet a, b ja c. Sijoitetaan kertoimet huolellisesti ratkaisukaavaan:

Ratkaistaan yhtälö. Ratkaisuja saadaan kaksi, jos juuren alle tulee positiivinen luku. Ratkaisuja saadaan yksi, jos juuren alle tulee nolla. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, jos juuren alle tulee negatiivinen luku.

Treenaa:

Ensimmäisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen asteen yhtälöt: Matin ikä
Ensimmäisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen asteen yhtälöt
Toisen asteen yhtälöt
Toisen asteen yhtälöt
Toisen asteen yhtälöt
Toisen asteen yhtälöt
Toisen asteen yhtälöt
Toisen asteen yhtälöt: laskuesimerkki