Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Todennäköisyyslaskenta ja tilastot

Todennäköisyyslaskenta on matematiikan osa-alue, joka pyrkii ennustamaan tapahtumien todennäköisyyttä. Todennäköisyyslaskennan tiedoista on hyötyä veikkaus- ja rahapeleissä, mutta se ennustaa myös erilaisten tilastoitujen tapahtumien tapahtumista.

Tärkeitä aiheita ovat muun muassa klassinen todennäköisyys, todennäköisyyksien laskusäännöt ja normaalijakauma. Laskuissa voidaan käyttää apuna kombinatoriikkaa ja tilastotiedettä.

Tilastot

Tilastoihin törmätään kaikkialla. Uutisissa näytetään pylväsdiagrammia puolueiden kannatuksista, säätiedotuksessa on tilastoituna lähipäivien lämpötilat ja sademäärät ja urheilu-uutisissa näytetään jääkiekon SM-liigan sarjataulukkoa. Tilastojen tarkoitus on luokitella asioita niin, että lukijan on helpompi hahmottaa tutkittua aineistoa. Tilastotieteen tärkeitä käsitteitä ovat muun muassa diagrammi, frekvenssi, summafrekvenssi, moodi, mediaani, keskiarvo ja keskihajonta.

Tehtäviä

(Linkin takaa löytyy tehtävänanto, vapaa tekstikenttä omalle vastaukselle ja oikea vastaus. Jos siis haluat laskea tai piirtää, kannattaa kaivaa kynä ja paperia esille.)

Tilastot: tikanheitto
Tilastot: Maijan päättötodistus
Tilastot: päättöarvosanat ja keskiluvut
Tilastot: määritä luku s

Todennäköisyyslaskennan perusteita

Todennäköisyyslaskenta ennustaa, millä todennäköisyydellä jokin tapahtuma tapahtuu. Tässä artikkelissa käsitellään todennäköisyyslaskennan perusteita, varsinkin klassista todennäköisyyttä. Tapahtuman A todennäköisyyttä merkitään P(A). Tehtävissä on hyvä muistaa, että todennäköisyyden arvo on aina välillä [0,1]. Varman tapahtuman todennäköisyys on 1 ja mahdottoman 0. Todennäköisyyden arvoa voidaan merkitä niin desimaalilukuna, murtolukuna kuin prosentteinakin.

Tehtäviä

Todennäköisyyslaskennan perusteita: painotettu nelitahoinen noppa
Todennäköisyyslaskennan perusteita: klassinen todennäköisyys
Todennäköisyyslaskennan perusteita: kahden nopan heitto
Todennäköisyyslaskennan perusteita: orava ja vesiletku

Kombinatoriikka

Todennäköisyyslaskennassa tarvitaan usein apukeinoja lukumäärien laskemiseksi. Erilaisten joukkojen lukumääriä tutkii matematiikan osa-alue nimeltään kombinatoriikka. Kombinatoriikasta käsitellään ensimmäisissä tehtävissä tuloperiaate, permutaatio ja variaatio. Jälkimmäisissä tehtävissä lasketaan todennäköisyyksiä kombinatoriikan avulla.

Tehtäviä

Kombinatoriikkaa
Kombinatoriikkaa: permutaatio, variaatio, kombinaatio
Kombinatoriikkaa: pallot pussissa
Kombinatoriikkaa: lotto

Todennäköisyyksien laskusääntöjä

Osa todennäköisyyslaskennan tehtävistä voidaan ratkaista päättelemällä klassisen tai tilastollisen todennäköisyyden kaavan ja kombinatoriikan avulla, osassa taas tarvitaan todennäköisyyksien laskusääntöjä.

Muistathan, että todennäköisyys P(A JA B)

ei ole aina P(A) - P(B)

Tai todennäköisyys P(A TAI B)

ei ole aina P(A) + P(B)

Laskusääntöjen oppimisessa on hyvä osata perusteita myös joukko-opista. Lopussa käydään vielä läpi toistokoe ja binomitodennäköisyys.

Tehtäviä

Todennäköisyyksien laskusääntöjä: komplementtien todennäköisyyksiä
Todennäköisyyksien laskusääntöjä: nopanheitto ja korttien nosto viisi kertaa
Todennäköisyyksien laskusääntöjä: Jokeri-peli
Todennäköisyyksien laskusääntöjä: painotettu kolikko

Todennäköisyysjakauma

Todennäköisyysjakaumat kertovat, kuinka todennäköisyydet painottuvat eri satunnaismuuttujien arvoille. Jakaumat voidaan jakaa diskreetteihin ja jatkuviin jakaumiin. Seuraavassa käsitellään yhden tehtävän verran diskreettejä jakaumia ja kolmen tehtävän verran jatkuvia jakaumia. Jatkuvista jakaumista tärkeintä, normaalijakaumaa, käsitellään kahdessa tehtävässä.

Tehtäviä

Diskreetti jakauma ja todennäköisyys
Todennäköisyysjakauma: tiheysfunktio
Todennäköisyysjakauma: standardinormaalijakauma
Todennäköisyysjakauma: peli ja normaalijakauma

Aikasarjoilla voidaan ennustaa talouden syklejä

Kuuntele kuinka talouden taantumaa voidaan ennustaa aikasarjamallien avulla. (Haastattelu on Matematiikan ajasta vuodelta 2008.)

Abitreenit

  • Navigaatiokuva aineelle Biologia.
    Navigaatiokuva aineelle Biologia. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Elämänkatsomustieto.
    Navigaatiokuva aineelle Elämänkatsomustieto. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Englanti.
    Navigaatiokuva aineelle Englanti. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Espanja.
    Navigaatiokuva aineelle Espanja. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Filosofia.
    Navigaatiokuva aineelle Filosofia. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Fysiikka.
    Navigaatiokuva aineelle Fysiikka. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Historia.
    Navigaatiokuva aineelle Historia. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Italia.
    Navigaatiokuva aineelle Italia. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Kemia.
    Navigaatiokuva aineelle Kemia. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Latina.
    Navigaatiokuva aineelle Latina. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Maantiede.
    Navigaatiokuva aineelle Maantiede. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Matematiikka.
    Navigaatiokuva aineelle Matematiikka. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Portugali.
    Navigaatiokuva aineelle Portugali. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Psykologia.
    Navigaatiokuva aineelle Psykologia. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Ranska.
    Navigaatiokuva aineelle Ranska. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Ruotsi.
    Navigaatiokuva aineelle Ruotsi. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Saame.
    Navigaatiokuva aineelle Saame. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Saksa.
    Navigaatiokuva aineelle Saksa. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Suomi.
    Navigaatiokuva aineelle Suomi. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Terveystieto
    Navigaatiokuva aineelle Terveystieto Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Uskonto.
    Navigaatiokuva aineelle Uskonto. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Venäjä.
    Navigaatiokuva aineelle Venäjä. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Yhteiskuntaoppi.
    Navigaatiokuva aineelle Yhteiskuntaoppi. Abitreenit
  • Navigaatiokuva aineelle Äidinkieli.
    Navigaatiokuva aineelle Äidinkieli. Abitreenit