Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Matemaattisia malleja I

Reaalimaailman ilmiöissä havaitaan säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia. Näitä voidaan kuvata matemaattisilla malleilla. Keskeisiä asioita ovat lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen sekä potenssiyhtälön ja eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmin avulla.

Lineaarisuus

Sana lineaarisuus tulee latinan kielestä ja tarkoittaa viivoista tehtyä. Yksi geometrian peruskäsitteistä on suora. Sillä viitataan viivaan, jolla ei ole kaarevuutta. Suoralla on vain leveys tai pituus, mutta ei päätepisteitä, kuten esimerkiksi janalla, joka on kahden pisteen välinen suora.

Treenaa:

Suora koordinaatistossa
Suoran yhtälön määritys
Suoran piirtäminen ja kuvion pinta-alan laskeminen
Suorien leikkauspisteen määritys
Pisteen sijainti suoralla

Eksponentiaalisuus

Eksponentiaalisella mallilla kuvataan arvoja, jotka muuttuvat tietyssä ajanjaksossa aina yhtä monta prosenttia. Eksponentiaalinen malli on käytössä esimerkiksi kun lasketaan lainoja tai talletuksia, joille kertyy korkoa korolle. Radioaktiivinen aine, jonka määrä vähenee aina tietyn prosenttiosuuden aikayksikössä, on myös esimerkki eksponentiaalisesta mallista. Radioaktiivinen materiaali puolittuu kullekin aineelle ominaisessa puoliintumisajassa.

Treenaa:

Eksponentiaalinen malli: talletus
Eksponentiaalinen malli: kofeiini
Eksponentiaalinen malli: tietokone
Eksponentiaalinen malli: bakteerit

Potenssiyhtälö

Toisen asteen yhtälöt ovat ehkä jo tuttuja, mutta vastaan saattaa tulla myös korkeampaa potenssia olevia yhtälöitä. Lukiossa korkeamman asteen yhtälöt on kuitenkin valittu siten, että ne on mahdollista ratkaista yksinkertaisin keinoin.

Treenaa:

Potenssiyhtälö: laskuesimerkki 1
Potenssiyhtälö: laskuesimerkki 2
Potenssiyhtälö: valitse oikea vaihtoehto
Potenssiyhtälö: ratkaise yhtälö

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

Muuttuja saattaa olla yhtälössä myös eksponenttina. Tällaiset tapaukset tulevat vastaan esimerkiksi, kun tutkitaan, missä ajassa eksponentiaalisessa mallissa saavutetaan tietty kohta. Esimerkiksi, milloin populaatio saavuttaa tietyn pisteen tai milloin tilille talletettu summa on kasvanut tiettyyn arvoon. Logaritmifunktio lg on työväline, jonka avulla on mahdollista ratkaista useimmat eksponenttiyhtälöt.

Treenaa:

Eksponenttiyhtälöt: laskuesimerkki
Logaritmi: laskuesimerkki
Logaritmi
Eksponenttifunktiot: Potenssilausekkeiden sievennys
Eksponenttifunktiot: Potenssilausekkeen muodostus
Eksponenttiyhtälöt: Yhtälön ratkaisua
Eksponenttiyhtälöt: Sovellus yhtälön ratkaisusta
Potenssiyhtälöt: Kantaluvun määritys
Eksponenttifunktio: Sovellus eksponentiaalisesta kasvusta
Prosenttilaskua: muutosprosentin määritys
Eksponenttifunktio: Sovellus eksponentiaalisesta kasvusta 2
Logaritmit: Kymmenkantainen logaritmi
Logaritmit: Luvun määritys logaritmin avulla

  • 2020 syksy: matematiikka pitkä oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 syksy: matematiikka lyhyt oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 kevät: matematiikka pitkä oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 kevät: matematiikka lyhyt oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.