Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Matemaattisia malleja II

Seuraavassa syvennytään yhtälönratkaisuun. Kertaa kahden muuttujan lineaarisia yhtälöitä, lineaarisen yhtälöparin ratkaisemista, kahden muuttujan epäyhtälön graafista ratkaisemista, lineaarista optimointia, lukujonoa sekä aritmeettisen ja geometrisen jonon ja summaa.

Yhtälöparin ratkaiseminen on yksi tavallisimmista toiminnoista matematiikassa. Lineaarisella yhtälöllä tarkoitetaan tässä ensimmäistä astetta olevaa yhtälöä ja yhtälöparilla kahta tällaista yhtälöä, näissä yhtälöissä voi esiintyä kaksi eri muuttujaa, esimerkiksi x ja y. Yhtälöparia merkitään laskuissa kaarella. Yhtälöparin ratkaisuksi voi tulla yksi piste, eli molemmille muuttujille saadaan yksi arvo. Joskus törmätään kuitenkin myös tilanteisiin, jossa ratkaisuja ei ole yhtäkään tai niitä on ääretön määrä.

Kun yhtälöpari ratkaistaan, etsitään ne muuttujien arvot, jotka toteuttavat molemmat yhtälöt. Toisin sanoen etsitään sellaisia arvoja, jotka voidaan sijoittaa alkuperäisiin yhtälöihin ja ne toteutuvat. Yhtälöitä ratkaistessa käytetään hyväksi tietoa, että molemmissa yhtälöissä muuttujilla tarkoitetaan samaa lukua, eli esimerkiksi x kuvaa molemmissa yhtälöissä samaa lukua.

Yhtälön ratkaisussa käytetään erilaisia menetelmiä ja niitä tarvitaan myös yhtälöparien ratkaisemisessa. Yhtälöpari voidaan ratkaista useilla eri tavoilla. Harjoituksen myötä oppii huomaamaan, mikä menetelmä on milloinkin nopein.

Yhtälöparien ratkaisumenetelmiä

1. Sijoitusmenetelmä

Ratkaistaan toisesta yhtälöstä toinen sen muuttujista, eli muokataan tämä yhtälö sellaiseen muotoon, että muuttuja on yksin yhtäsuuruusmerkin toisella puolella. Nyt siis olemme löytäneet toisen tavan merkitä tätä muuttujaa. Toisesta yhtälöstä löytyy tämä sama muuttuja ja voimme kirjoittaa sen löytämämme lausekkeen avulla. Nyt toinen yhtälömme sisältää enää yhtä muuttujaa ja osaamme ratkaista sen. Näin olemme saaneet ratkaistuksi toisen muuttujan ja voimme sijoittaa sen arvon toiseen yhtälöistä ja näin ratkaista jäljellä olevan muttujankin.


2. Vertailumenetelmä

Saatetaan yhtälöt sellaiseen muotoon, että molemmissa on sama muuttuja yksinään toisella puolella. Esimerkissä molemmat yhtälöt ovat valmiiksi muodossa, jossa muuttuja y on yksinään toisella puolella. Koska molemmissa yhtälöissä muuttujien arvojen tulee olla samat, voimme kirjoittaa yhtälöt toisella puolella olevat lausekkeet ovat yhtä suuria. Toinen muuttujista, esimerkkitapauksessa y, on nyt saatu häviämään ja voimme ratkaista yhtälöstä toisen muuttujan. Lopuksi ratkaisemme yhtälöparin kuten edellisessä kohdassa käyttämällä hyväksemme sitä muuttujaa, jonka olemme jo ratkaisseet.


3. Yhteenlaskumenetelmä

Yhteenlaskumenetelmä on menetelmä, jota yläkouluissa käytetään melko usein. Se on kuitenkin vain harvoin kovin tehokas menetelmä lukiossa vastaantulevia yhtälöpareja ratkaistaessa. Yhtälöparia muokataan tässä menetelmässä kertomalla toista yhtälöistä erilaisilla vakioilla. Tällöin tulee muistaa, että kertominen vaikuttaa yhtälön molempiin puoliin. Yhtälöt saatetaan kertomalla sellaiseen muotoon, että eri yhtälöissä esiintyy samalla puolella sekä toinen muuttujista että sen vastaluku.


Kahden lineaarisen epäyhtälön graafinen ratkaiseminen

Lineaarisella epäyhtälöllä tarkoitetaan ensimmäistä astetta olevaa epäyhtälöä. Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaisussa voidaan käyttää aivan samoja toimenpiteitä kuin ensimmäisen asteen yhtälöä ratkaistessakin. Ainoana poikkeuksena tulee muistaa, että kerrottaessa epäyhtälön molemmat puolet negatiivisella luvulla epäyhtälömerkin suunta vaihtuu.

Esimerkki 1:

Esimerkki 2:

Matematiikassa törmätään myös tilanteisiin, joissa kaksi lineaarista epäyhtälöä rajaavat alueen, jota tutkitaan. Tällaisiin tilanteisiin joutuu esimerkiksi myyjä, joka koettaa tasapainotella sen välissä, miten paljon hänen ainakin on pakko hankkia tuotetta varastoon ja miten paljon hänellä korkeintaan on varaa ostaa.

Kaksi lineaarista epäyhtälöä voidaan ratkaista graafisesti. Tällöin kuvataan x- ja y-akseleissa muuttuvia suureita, esimerkiksi kahta eri tuotetta tai tuotetta ja hintaa. Tehtävän vastaukseksi saadaan suorien rajaama alue, jonka kaikki pisteet toteuttavat epäyhtälöt. Tämän suorien rajaaman alueen kärjistä löydetään usein sellaisia kiinnostavia pisteitä, joissa selvitään esimerkiksi pienimmällä rahankulutuksella tai voidaan ostaa suurin määrä tuotteita.

Aluksi tehtävässä siis päätetään, mitä suuretta milläkin kuvaajalla merkitään. Tämän jälkeen merkitään annetut alkuehdot epäyhtälöinä, usein ne ovat jo aluksi siinä muodossa. Graafisella ratkaisulla tarkoitetaan, että vastaus etsitään piirtämällä. Aluksi merkitään epäyhtälöt yhtälöiksi ja piirretään ne samaan koordinaatistoon. Tämän jälkeen käsitellään epäyhtälö kerrallaan. Valitaan testipiste, joka ei ole tutkittavalla suoralla. Usein testipisteeksi kannattaa valita origo, jos se ei siis ole suoralla. Sijoitetaan testipisteen koordinaatit alkuperäiseen epäyhtälöön ja tutkitaan, toteutuuko se. Jos testipiste toteuttaa epäyhtälön, voidaan värittää suoran jakamasta koordinaatistosta se puoli, jolla testipiste sijaitsee. Jos testipiste ei toteuta epäyhtälöä, väritetään juuri se puoli, jolla se ei sijaitse. Tämä toimenpide tehdään jokaisella epäyhtälöllä erikseen ja jokaiselle epäyhtälölle kannattaa valita oma värinsä, jotta ne erottaa toisistaan. Mikäli epäyhtälössä myös yhtäsuuruus on voimassa, myös aluksi piirretyt suorat kuuluvat ratkaisujoukkoon. Tämä siis toteutuu tapauksissa ”pienempi tai yhtäsuuri kuin” sekä ”suurempi tai yhtäsuuri kuin”. Muissa tapauksissa yhtäsuuruus ei kuulu alueeseen ja raja kannattaa merkitä katkoviivalla.

Esimerkki 3:

Merkitään ensin ensimmäinen epäyhtälö yhtälöksi y=2x-+1 ja piirretään se koordinaatistoon. Origo ei ole tällä suoralla, joten käytetään sitä testipisteenä. Origo toteuttaa epäyhtälön, sillä nolla on pienempi kuin yksi, joten merkitään punaisella sitä puolta koordinaatistosta, johon origo kuuluu.

Lopputulokseksi saadaan seuraava kuvio:

Tehdään sama toiminto toiselle epäyhtälölle. Nyt ei voida käyttää testipisteenä origoa, joten valitaan esimerkiksi piste (1,0). Kun sijoitetaan x:lle arvo 1 ja y:lle arvo 0, saadaan epäyhtälö, joka ei pidä paikkaansa. Väritetään tämä alue sinisellä

Tehtävän vastaus on merkitty kuvioon violetilla ja siihen kuuluvat myös reunaviivat.

Treenaa:

Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 1

Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 2

Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 3

Kahden lineaarisen epäyhtälön graafinen ratkaiseminen

Yhtälöparin sovellus: siat ja lehmät

Leikkauspisteen määritys

Yhtälöparin muodostaman kuvion ala

Paraabelin kertoimien määritys

Kahden muuttujan epäyhtälö

Optimointi

Vakioiden määrittäminen yhtälöparissa

  • 2020 syksy: matematiikka pitkä oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 syksy: matematiikka lyhyt oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 kevät: matematiikka pitkä oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 kevät: matematiikka lyhyt oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.