Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Matemaattisia malleja III

Artikkeli sisältää matemaattisia malleja, joita tarvitaan teknologisoituvassa yhteiskunnassa. Keskeisiä sisältöjä ovat trigonometristen funktioiden määrittely yksikköympyrän avulla ja vektorien peruslaskutoimitukset, kuten pistetulon laskeminen. Sisältöihin kuuluvat myös muutaman peruslauseen, kuten sinilauseen ja kosinilauseen käyttäminen ja soveltaminen erilaisissa tehtävissä.

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot ovat kulman funktioita, joita tarvitaan tutkittaessa kolmioita ja mallinnettaessa jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot voidaan määritellä paitsi suorakulmaisen kolmion suhteina, myös yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrä on suorakulmaisessa koordinaatistossa oleva ympyrä, jonka keskipiste on origossa. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu voidaan esittää joko asteissa ja radiaaneissa. Radiaani on kulman yksikkö, joka on kaaren ja säteen suhde. Yhtälölle löytyy useampia ratkaisuja.

Kulma ja yksikköympyrä

Yksikköympyrä on yksikkösäteinen ympyrä, jonka keskipiste on origossa. Kulman sini ja kosini määritellään yksikköympyrässä kehäpisteen koordinaattien avulla:

Suplementtikulmilla on sama sinin arvo:

Vastakulmilla on sama kosinin arvo, joten:

Radiaani on kulman yksikkö, joka on kaaren ja säteen suhde. Kulmayksiköiden ja radiaanin välillä on yhteys. Esimerkiksi:

Trigonometrisen yhtälön ratkaisu

Ratkaisu voidaan esittää joko asteissa ja radiaaneissa. Huomioitavaa on, että yhtälölle löytyy useampia ratkaisuja.

Yhtälölle:

ja

ja

Treenaa:

Trigonometria: Kehäpiste yksikköympyrässä

Trigonometria: yhtälönratkaisua

Trigonometria: Yhtälönratkaisua 2

Trigonometria: Yhtälönratkaisua 3

Trigonometria: funktion kuvaaja ja nollakohdat

Vektorit

Vektorit ovat tärkeä osa fysiikkaa ja geometriaa. Vektoreita käytetään mallintamaan suureita, joilla on suuruus ja suunta. Vektoreita kuvataan janoilla, joiden toisessa päässä on nuolenkärki. Vektoreita käsitellessä määritetään erilaisia kulmia, pisteitä, suoria ja tasoja, ja niillä voidaan esimerkiksi kuvata tietyn pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Kurssissa tarkastellaan vektoreiden perusominaisuuksia ja laskutoimituksia.

Laskutoimitukset

Vektorien yhteenlaskulle on voimassa:

Luvun ja vektorin tulo

Vektorit koordinaatistossa

Tasokoordinaatistossa komponenttiesitys vektorille on:

Vektorin pituus:

Pistetulo

Pistetulo on vektorin komponenttiesityksen vastinkoordinaattien tulojen summa.

Pistetulo on nolla, kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. Kahden vektorin pistetulo on vektorien pituuksien ja vektorien välisen kulman kosinin tulo eli:

Treenaa:

Vektorit: Suhteiden määritystä

Vektorit: yksikkövektori

Vektorit: Vektoriyhtälön ratkaisu

Vektorit: Koordinaatistoon piirtäminen ja pituuden määritys

Vektorit: Summavektori

Vektorit koordinaatistossa: Suhteen määritystä

Vektorit: Pistetulo, pituus ja vektorien välinen kulma

Vektorit: Kohtisuoruus pistetulon avulla

Vektorit: Paikkavektori avaruuskoordinaatistossa

Vektorit: Kohtisuoruus avaruuskoordinaatistossa

Vektorit: Vektorien yhteen- ja vähennyslaskua

Vektorit: Piirtäminen koordinaatistoon, kulman laskeminen

Trigonometristen funktioiden peruskaavat

Pythagoraan lauseen avulla voidaan ratkaista suorakulmaisen kolmion sivuja. Lausetta ei kuitenkaan voi käyttää muihin kolmioihin. Joissain tapauksessa kolmio voidaan jakaa osiin niin että muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, jolloin Pythagoraan lausetta voidaan käyttää. Kolmioiden sivujen määrittämiseksi on olemassa myös sini- tai kosinilause. Kosinilausetta kutsutaan usein laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.

Sinilause

Kolmiossa sivun ja vastakkaisen kulman suhde on vakio, joten:

Kosinilause

Kosinilause on laajennettu Pythagoraan lause. Kun tunnetaan kolmion kaikki sivut ja sivun a vastainen kulma, niin: 

Treenaa:

Trigonometria: Kosinilause

Trigonometria: Kosinilause 2

Trigonometria: Sinilause

  • 2020 syksy: matematiikka pitkä oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 syksy: matematiikka lyhyt oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 kevät: matematiikka pitkä oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.

  • 2020 kevät: matematiikka lyhyt oppimäärä

    Matematiikan yo-kokeiden tehtävät ja vastaukset.

    Tällä sivulla pääset joko katselemaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimaa koetta (katseluversio) tai harjoittelemaan tekemällä sen itse (harjoittelukoe). Katseluversio ja hyvän vastauksen piirteet julkaistaan yo-koepäivänä ja harjoitteluversio mahdollisimman pian kokeen jälkeen.