Hyppää pääsisältöön

Kuulitko jo avaruuden juttelevan meille?

teollisuusmatemaatikko Samuli Siltanen
Teollisuusmatemaatikko Samuli Siltanen teollisuusmatemaatikko Samuli Siltanen Kuva: Yle/Jukka Lintinen prisma studio blogikesä

Kuulitko jo avaruuden juttelevan meille? Tutkijat saivat ensi kertaa mitattua gravitaatioaaltoja eli aika-avaruuden kumimaton värinöitä, kun miljardi vuotta sitten törmänneiden mustien aukkojen rysähdys heilautti lasersäteitä LIGO-mittalaitteessa. Samuli Siltasen blogissa gravitaatioaallot törmäävät keppihevosiltamiin.

Avaruuden äännähtelyn tulkintaan tarvittiin paitsi Albert Einsteinin ja hänen seuraajiensa nerokkaita teorioita, myös nykyaikaista tietokonelaskentaa. Tämä yhdistelmä muistutti mieleeni vuosia sitten kuulemani keskustelun kahden matemaatikon, Erikan ja Villen, välillä (ajatustenvaihdon arkaluontoisuuden vuoksi Erikan ja Villen nimet on muutettu).

Ville on armoitettu matemaattisen ohjelmoinnin taituri, joka iltapuhteeksi näpyttää optimoitua C-koodia laskemaan magneettikentän väreileviä juovia tai lämmön häikäilemätöntä johtumista moottorilohkossa. Erika puolestaan on teoreettisen päättelyn suurguru. Kompleksianalyysi on Erikan aivojen käyttöjärjestelmä: siellä neliöjuurifunktion kierreportaat hipovat Lebesguen avaruuden huurteisia piikkejä.

Niin, se keskustelu! Se oli tällainen, lyhyt:
Erika: Miten voit olla varma, että tietokoneohjelmasi lopputulos on oikein, jos et ole ensin todistanut ohjelman taustalla olevia matemaattisia kaavoja?
Ville: Mistä tiedät, pitävätkö nuo liitutaulusi yhtälöt paikkansa, jos et ole testannut niitä tietokoneella?

Erika ja Ville edustavat kahta matemaattisen tutkimuksen tyylilajia: analyyttistä ja laskennallista. Kummallakin on paitsi voimansa myös puutteensa, ja siksi niiden yhdistäminen on usein paras idea uusien tieteellisten tulosten luomisessa. Ennen kuin palaan gravitaatioaaltojen tapaukseen, havainnollistan näiden kahden tyylisuunnan eroa tutummalla esimerkillä.

Karaokessa on “Aikuinen nainen,” teatterissa “Hamlet,” jazzissa “Summertime” ja rokissa “Stairway to Heaven.” Matematiikan klassinen standardi on “toisen asteen yhtälö,” jota ratkomme Erikan ja Villen keinoilla. Mutta mikä olisi kiva arkielämästä nouseva toisen asteen yhtälö?

Peppi on kaksitoistavuotias keppihevosmestari. Häneltä sujuu paitsi esteratsastus, myös keppihevosten suunnittelu ja valmistus korkeatasoisena suomalaisena käsityönä! Katso vaikka kuvasta.

kaksi keppihevosta
Kaksi Pepin suunnittelemaa ja valmistamaa keppihevosta. kaksi keppihevosta Kuva: Samuli Siltanen prisma studio blogikesä

Peppi aikoo järjestää iltamat, joissa jokaisen osallistujan tulisi antaa kullekin muulle itse tehty keppihevonen. Hän pohtii, kuinka monta osallistujaa tapahtumassa olisi hyvä olla. Taloyhtiön järjestämässä keppihevostallissa on 20 pilttuuta, joten tyylikkäintä olisi, jos kokoukseen tuotujen keppihevosten määrä olisi juuri 20. Kuinka monta kutsua siis tulisi lähettää, jotta jaettavia keppareita olisi 20?

Tietenkin voimme lähestyä pulmaa niinsanotulla raa’an voiman taktiikalla eli kokeilemalla kaikkia mahdollisuuksia. Näin: jos tapahtumaan tulee 1 osallistuja eli vain Peppi, jaettavia keppareita ei tarvita lainkaan. Jos mukaan tulee yksi kaveri, kumpikin antaa toiselle kepparin eli niitä on kaksi. Kolmen osallistujan kemuissa kukin antaa kahdelle muulle lahjan, jolloin keppareita on 3*2=6. Jos paikalla on neljä harrastajaa, jokaisen täytyy tuoda kolme kepparia, ja kokonaismäärä on 4*3=12. Se on vielä alle 20. Entäpä viisi osallistujaa? Silloin jokainen tuo kepparin neljälle muulle ja kaikkiaan 5*4=20 pilttuuta tulee täyteen. Oikea vastaus on siis 5.

Kokeillaanpa huvin vuoksi muutakin kuin raa’an voiman taktiikkaa. Muunnetaan tämä kiperä pähkinä matematiikan ankaraan muotoon! Merkitään osallistujien määrää kirjaimella x. Montako keppihevosta kukin osallistuja tuo? Jokainen antaa muille kuin itselleen kepparin, joten kunkin tulee tuoda niitä mukanaan x-1 kappaletta. Keppihevosten kokonaismäärä on siis osallistujien määrä x kerrottuna kunkin tuomalla määrällä, eli x*(x-1). Pilttuut tulevat täsmälleen täyteen, kun x*(x-1)=20. Tästä sieventämällä saamme x^2-x=20. Vähennetään yhtälön kummaltakin puolelta 20, jolloin saamme perusmuotoisen toisen asteen yhtälön x^2-x-20=0. Tämän ratkaisemme sekä Villen että Erikan tyylillä.

Ville tykkää tietokonelaskennasta ja valitsee tekniikaksi matikkajumala Isaac Newtonin ajattoman menetelmän. Hän ottaa alkuarvaukseksi 2 osallistujaa. Merkitään tätä näin: x1 = 2. Alkuarvausta parannetaan askeleittain käyttäen Newtonin iteraatiota: tulokseksi tulevat luvut x2, x3, x4 ja niin edelleen:
x1 = 2
x2 = 8
x3 = 5.6
x4 = 5.035294117647059
x5 = 5.000137331197070
x6 = 5.000000002095476
x7 = 5.000000000000000
Tuo alimmainen luku x7 onkin jo oikea tietokoneen koko laskentatarkkuudella: vastaus on 5 osallistujaa. Newtonin iteraation kulkua voi ihailla oheisessa kuvassa, josta asiaan vihkiytynyt katsoja huomaa derivaatan ovelan käytön.

Newtonin iteraatio käyrinä
Newtonin iteraatio käyrinä Kuva: Samuli Siltanen prisma studio blogikesä

Erika puolestaan ottaa MAOLin taulukkokirjan käteen. No vitsi vitsi, ei tietenkään ota mitään kirjaa, hänhän muistaa tämän klassisen ratkaisukaavan ulkoa:

toisen asteen yhtälö
toisen asteen yhtälö Kuva: Samuli Siltanen prisma studio blogikesä

Sijoittamalla a=1 ja b=-1 ja c=-20 saamme kaksi ratkaisua. Osallistujien määrä on joko x=5 taikka x=-4. Näistä valitsemme vitosen, koska tylsät ovat kinkerit, joissa on vähemmän porukkaa kuin ei ketään. (Huomioidaan, että Villenkin menetelmällä voidaan löytää tuo ratkaisu -4, esimerkiksi alkuarvolla 0.)

Vertaillaanpa vähän. Villen menetelmä toimii mille tahansa annetulle yhtälölle ja tuottaa alati tarkentuvia likiarvoja ratkaisuille. Alkuarvosta riippuen se saattaa tuottaa eri ratkaisuja, ja etukäteen on vaikea tietää, mihin mikäkin alkuarvo vie. Erikan tyyli eli yleinen ratkaisukaava soveltuu mille tahansa toisen asteen yhtälölle, antaa aina molemmat ratkaisut, ja toimii myös Villen menetelmän epäonnistuessa. Toisaalta Erikan systeemi saattaa antaa vastaukseksi vaikka “neliöjuuri kaksi,” jonka likiarvon laskemiseksi täytyy käyttää Villen työkalupakkia.

Toisen asteen yhtälön tapauksessa sanoisin, että ratkaisukaava vetää voiton: Erika-Ville 1-0. Vaan entäs jos tarkastelemme monimutkaisempaa tapausta, nimittäin painovoima-aaltojen havaitsemista? Einsteinin suhteellisuusteorian yhtälöt eivät, harmi kyllä, ratkea MAOLin taulukkokirjalla. Kahden mustan aukon törmäyksen aiheuttamat gravitaatioaallot havaittiin käyttämällä uskomattoman herkkää LIGO-mittalaitetta sekä yhdistämällä Erikan ja Villen lähestymistavat.

Einstein osasi itse jo ennustaa gravitaatioaaltojen olemassaolon teoriansa väistämättömänä seurauksena. Analyyttiset laskut (Erikan tapa) osoittivat, että vahvimmat aaltoilut syntyvät
(a) mustien aukkojen törmäyksestä taikka
(b) neutronitähden pyrörimisestä. Siis mikäli neutronitähti ei ole täydellisen pyöreä. Onneksi jo millimetrin korkuinen “vuoristo” neutronitähden pinnassa riittää aaltoilun tuottamiseen!

Aaltojen tarkan muodon laskeminen ruutupaperilla on kuitenkin niin hankala tehtävä, ettei sitä ole laitettu edes ylioppilaskirjoitusten jokeritehtäväksi.

Läpimurto tuli 2000-luvun alussa kolmen edistysaskeleen kautta:
(1) osattiin kirjoittaa Einsteinin yhtälö sellaiseen muotoon, että tietokone saa siitä paremman otteen,
(2) rakennettiin tarpeeksi tehokkaita tietokoneita,
(3) keksittiin ovelammat matemaattiset laskenta-algoritmit.
Näin saatiin Villen tyylillä laskettua kahden mustan aukon törmäämisen aiheuttama signaali. Luotiin valtava pankki erilaisia mustien aukkojen törmäyssignaaleja, ja LIGO-datan vertaaminen niihin paljasti tuon miljardi vuotta sitten tapahtuneen törmäyksen.

Toivottavasti Pepin bileet onnistuvat, eivätkä gravitaatioaallot kaada esteradan puomeja!

Kirjoittaja: Samuli Siltanen

Teollisuusmatemaatikko Samuli Siltanen näkee matematiikkaa lääkärin röntgenlaitteessa, huulipunamallien siloposkikuvissa ja hämähäkkien ruuanhankinnassa. Hän tutkii Helsingin yliopistolla käänteisiä ongelmia, joissa edetään seurauksista syihin. Samuli viihtyy painavien asioiden, kuten kahvakuulien ja kamerajalustojen, parissa.

Yle Tieteen asiantuntijat bloggaavat itselleen tärkeistä tiedeaiheista.

Kommentit

Tiede

  • Houston, meillä on podcast – He valloittivat Kuun

    Apollo 11 vei ensimmäiset ihmiset Kuuhun.

    50 vuotta sitten, heinäkuussa 1969 ensimmäiset ihmiset laskeutuivat Kuun pinnalle. Podcast-sarja He valloittivat Kuun kertoo heistä, jotka tekivät mahdolliseksi tämän yhden ihmiskunnan suurista seikkailuista.

  • Pakko sanoa, pakko olla hiljaa – ilmastokriisini nyt

    Jos toivoa ei enää ole, kannattaako sitä sanoa ääneen?

    Minua painaa raskas dilemma. Se on ammatillinen ja eksistentiaalinen – jopa henkilökohtainen. Se kuuluu näin: Jos arvelee, että ilmastokatastrofia ei voi enää estää, onko sitä mitään mieltä sanoa ääneen? Olen pohtinut tätä asiaa jo useamman vuoden. Juuri tämä kysymys on pitänyt minut pitkään varsin hiljaisena ilmastonmuutoksen suhteen.

Uusimmat sisällöt - Tiede