Hyppää pääsisältöön

Pähkinä purtavaksi: Paraneeko voiton mahdollisuus vaihtamalla?

Pähkinä purtavaksi: kannattaako vaihtaminen? Siluetti kysymysmerkeillä katselee kolmea laatikkoa
Pähkinä purtavaksi: kannattaako vaihtaminen? Siluetti kysymysmerkeillä katselee kolmea laatikkoa Arvoitus,Bayesin teoreema,matematiikka,Monty Hall,todennäköisyyslaskenta

Kuinka saisit varmimmin kultaharkon?

Kauppias järjestää yllätyksen. Hän tarjoaa sinulle mahdollisuutta osallistua peliin, jossa päävoittona on kultaharkko.

Saat eteesi kolme suljettua laatikkoa. Sinulle kerrotaan, että laatikoista kaksi on tyhjiä ja yhdessä on arvokas kultaharkko. Saat valita laatikoista yhden itsellesi, mutta et saa avata sitä. Laatikoihin ei saa koskea.

Tämän jälkeen kauppias, joka tietää mitä laatikot sisältävät, avaa toisen jäljellä olevista laatikoista. Se on tyhjä.

Kauppias kertoo, että nyt sinulla on vielä mahdollisuus vaihtaa valitsemasi laatikko jäljellä olevaan avaamattomaan laatikkoon.

Kannattaako vaihtaminen vai onko fiksumpaa pitäytyä aiemmassa valinnassasi?

Osaatko päätellä, kannattaako sinun vaihtaa paketti vai ei? Miten perustelet vastauksesi?

Pähkinän ratkaisu

Ratkaisu: Vaihtaminen kannattaa.

Vaihtaminen siis kannattaa, jos luotamme todennäköisyyksiin.

Niin kummalliselta kuin se kuulostaakin, kultaharkon voittamisen todennäköisyys kasvaa ihan oikean todennäköisyyslaskelman mukaan.

Selitys:
Alkutilanteessa voittavan valinnan todennäköisyys on yksi kolmesta. Kun kauppias on avannut yhden tyhjän laatikon, syntyy uusi valintatilanne, jossa oikean valinnan todennäköisyys onkin yksi kahdesta.

Vaihtaminen tuntuu ehkä silti arkijärjen vastaiselta ratkaisulta, koska kultaharkko on edelleen samassa laatikossa ja kauppias alunperinkin tietää kaikkien laatikoiden sisällön.

Oheinen kuva kuitenkin selventää tilannetta. Ruudukon eri rivit edustavat erilaisia vaihtoehtoja: ensimmäisessä arvauksesi osuu oikeaan, mutta kahdessa muussa tyhjään laatikkoon. Huomaat ruudukosta, että kahdessa tapauksessa kolmesta vaihto kannattaa.

Kaavio, jossa 3 riviä ja 5 saraketta, 1. sarake ylhäältä alas: kultaharkko, tyhjä laatikko, tyhjä laatikko 2.sarake = laatikko, kultaharkko, laatikko, 3.sarake=laatikko, laatikko, kultaharkko. lisäksi tulossarakkeet
Ensimmäisessä sarakkeessa on sinun valintasi, toisessa kauppiaan valinta (joka on aina tyhjä laatikko) ja kolmannessa jäljelle jäänyt laatikko. Kaavio, jossa 3 riviä ja 5 saraketta, 1. sarake ylhäältä alas: kultaharkko, tyhjä laatikko, tyhjä laatikko 2.sarake = laatikko, kultaharkko, laatikko, 3.sarake=laatikko, laatikko, kultaharkko. lisäksi tulossarakkeet Kuva: Joni Nieminen / Yle Arvoitus,matematiikka,Bayesin teoreema,Monty Hallin ongelma,Todennäköisyysjakauma

Jos ratkaisu edelleen tuntuu järjettömältä, niin ainakin olet epäilyksinesi asiantuntevassa seurassa: moni tohtoritason todennäköisyyslaskentateoreettikkokin on väittänyt ratkaisua vääräksi todistelusta huolimatta. Jopa merkittävä matemaatikko Paul Erdős ei vakuuttunut vaihtamisen kannattavuudesta ennen kuin näki vaihtoehdoista tehdyn tietokonesimulaation.

Kyseessä on looginen epäintuitiivinen paradoksi, koska oikea valinta (että laatikko kannattaa yleensä vaihtaa) on vastoin intuitiota, jopa absurdi, mutta on siitä huolimatta todistettavasti totta.

Logiikan ymmärtämiseksi voi ajatella tilannetta, jossa kauppias sinun valintasi jälkeen ei avaakaan tyhjää laatikkoa, vaan tarjoaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa oma laatikkosi kahteen muuhun laatikoon. Tällöin moni intuitiivisesti tarttuisi ilman muuta mahdollisuuteen, vaikka tilanne periaatteessa on sama kuin alkuperäisessäkin tehtävässä eli toinen noista laatikoista on varmuudella tyhjä.

Ongelmasta on olemassa useita hieman toisistaan poikkeavia versioita, kuten Kolmen vangin ongelma ja näitä vanhempi Bertrand's box -paradoksi

Arvoitus tunnetaan alunperin nimeltä Monty Hallin ongelma. Juontaja Monty Hall käytti sitä suositussa Let's make a deal -ohjelmassa. Wikipedian artikkelissa on myös tarkempi teoreettinen todistelu tehtävän ratkaisun tueksi.

Keskustele