Hyppää pääsisältöön

Juha Hurmeen kolumni: Hippasus ja omaksutun totuuden kyseenalaistaminen

Kuva Juha Hurmeesta
Kuva Juha Hurmeesta Kuva: Joonas Josefsson Juha Hurme,KulttuuriCocktail

Usko ja toivo ovat suuria asioita, mutta suurin kaikista on matematiikka.

Eläimetkin laskevat. Monet lajit pystyvät erottamaan viiden alkion suuruisten tai sitä pienempien joukkojen kokoeron. Laskeminen on ymmärrettävästi laskelmoinnin ja arvioinnin sukua; eläinkunnan moninaiset ällipäät arvioivat ajan kulua, muonavarastojen suuruutta, etäisyyttä saaliiseen ja sen kiinnisaamisen todennäköisyyttä sekä pakoon pötkimisen oikeaa ajoitusta. Apinoiden joukossa on tämän lisäksi geometrikoita, jotka kykenevät hahmottamaan muodon abstraktina, esineestä irrallaan olevana asiana.

Viimeistään 30 000 vuotta sitten nykyihmisellä oli viiden ryhmiin kaiverrettujen viivarykelmien tilastoja muistinsa tueksi. Näillä luuhun tai puuhun raapustetuilla merkinnöillä, kirjanpidolla, saatettiin hallita ajan rytmejä ja saalismäärien vaihteluita. Varhaisten lukujärjestelmien yleisimmät kantaluvut 5, 10 ja 20 löytyivät summaamalla sormia ja varpaita sopivasti.

Kun ihmiskuntaa alkoi 10 000 vuotta sitten kertyä taajamiin, matematiikka kehittyi monimutkaistuvissa ja hierarkisoituvissa yhteisöissä hallinnon, kaupan ja verotuksen välttämättömänä välineenä.

Pythagoralaiset tuumasivat, että universumi on rakennettu kokonaisluvuista ja niiden välisistä suhteista.

2500 vuotta sitten matematiikasta oli tullut tiedettä, taidetta ja jopa uskontoa. Samoksen saarelta Etelä-Italian Krotoniin siirtyneet pythagoralaiset päättelivät, että maailmankaikkeus on matematiikkaa. He tuumasivat, että universumi on rakennettu kokonaisluvuista ja niiden välisistä suhteista. Tämä kasvisruokaa popsinut, kummastakin sukupuolesta koostunut ja jatkuvaan opiskeluun satsannut yhteisö piti tästä todisteena musiikin harmonioita.

Esimerkiksi diatoninen sävelasteikko todellakin perustuu tällaisiin lukusuhteisiin, josta löydöstä riemastuneina Krotonin matemaatikot laajensivat periaatetta uhkarohkeasti koko kosmokseen. Heistä tiedetään sekä paljon että vähän. Puolimyyttisen pomomiehen Pythagoraan kiellosta ”Älä kajoa papuihin!” on väitelty jo kolmatta vuosituhatta.

Johtavia tulkintoja on neljä kappaletta. Yksi. Kulinaarinen – papuruoka on pahaa. Kaksi. Ympäristöhygieeninen – papuruoka tuottaa ilmavaivoja. Kolme. Edellisen uskonnollinen tulkinta – mahakaasut samentavat sielun. Neljä. Poliittinen – äänestyksissä käytettiin mustia ja valkoisia papuja vaalimatematiikan välineinä, eli kysymyksessä olisi neuvo olla sekaantumatta politiikkaan.

Totuus papusäännöstä on haihtunut avaruuden sfääreihin.

Lahjakas ja ennakkoluuloton pythagoralainen nimeltään Hippasus rupesi tutkimaan tasakylkistä suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituus on 1.

Sen sijaan Pythagoraan uljas lause suorakulmaisesta kolmiosta on keskuudessamme yhä yksitulkintaisena, kirkkaana ja totena: hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa. Tämä koulukunnan uljain saavutus ja suurin voitto sisälsi kuitenkin katastrofin.

Lahjakas ja ennakkoluuloton pythagoralainen nimeltään Hippasus rupesi tutkimaan tasakylkistä suorakulmaista kolmiota, jonka kateettien pituus on 1. Tällaisen kolmion hypotenuusan neliö on siten jämptisti 2. Kuinka pitkä on siis hypotenuusa? Se on jokin luku, joka kerrottuna itsellään on 2. Nykyisin sanomme, että se on neliöjuuri kahdesta, mutta Hippasuksella ei ollut tätä nimitystä.

Sen sijaan hänellä oli luovaa matemaattista älyä. Hän kykeni laatimaan todistuksen, jonka mukaan osoitti aukottomasti, että tällaista lukua ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena eli osamääränä. Ei mitenkään ikinä.

Hippasus oli keksinyt irrationaaliluvut. Se oli paukku.

Pythagoralaisen maailmanjärjestyksen perustukset murtuivat tähän riitasointuun kuin Jerikon muurit muinoin Joosuan soitellessa yhtyeineen torvimusiikkia. Kriisikokouksessa päätettiin, ettei asiasta kerrota. Hippasusta vannotettiin olemaan vaiti. Hippasus oli kuitenkin liian ylpeä nerokkaasta todistuksestaan ja vuoti tiedon julki. Seuraamukset olivat kohtalokkaat.

Joukko vaiteliaita matemaatikkoja nousi eräänä aamuna purteen, mukanaan kuriton Hippasus. Kun päästiin riittävän pitkälle Joonianmeren ulapalle, Hippasus kipattiin yli laidan puntit jaloissaan.

Omaksuttujen totuuksien kyseenalaistaminen voi olla hengenvaarallista, kuten Hippasus sai tuta.

Mutta matemaattinen totuus ei uponnut Välimeren syvyyksiin. Venäläissyntyinen kosmopoliitti ja modernin matematiikan nero, joukko-opin luoja Georg Cantor, osoitti 1800-luvulla, että irrationaalilukujen ääretön joukko on suurempi kuin kokonaislukujen ja niiden suhteiden (murtolukujen) ääretön joukko.

Äärettömyydelläkin on rakenteensa.

Omaksuttujen totuuksien kyseenalaistaminen voi olla hengenvaarallista, kuten Hippasus sai tuta. Ja kyllä Cantorillekin huudeltiin, sanottiin, että hänen äärettömyyden määrittelynsä keikauttaa äärettömän Jumalan ääretöntä valtaistuinta äärettömässä ajassa, ikuisuudessa.

Ei auta. Kyseenalaistettava on. Ei riitä, että uskomme lujasti ja toivomme kovasti. Meidän on myös ymmärrettävä, mistä tässä ihmeellisessä todellisuudessa on kysymys. Siinä työssä auttaa matematiikka, suurin kaikista.

Keskustelu sulkeutuu 23.5.2019.
Keskustele