FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, joten toinen potenssi $x^2$ kirjoitetaan vastauslaatikkoon muodossa x^2. Kunkin vastauksen maksimipituus on 15 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin.

Logistinen regressio on malli, jota käytetään esimerkiksi tutkittaessa riskiä sairastua erilaisiin sairauksiin, kuten esimerkiksi sepelvaltimotautiin.

Logistisessa regressiossa $y$ riippuu muuttujasta $x$ yhtälön

mukaisesti. Vakiot $a$ ja $b$ valitaan mallinnettavan ilmiön mukaan.

1. Ratkaise $y$ logistisen regression yhtälöstä. (6 p.)
2. Olkoon $a=2$ ja $b=-<!--\; -\; -->1$. Millä muuttujan $x$ arvolla $y$ saa arvon $0,5$? (6 p.)

Käyrällä

on kaksi tangenttia, jotka kulkevat pisteen $(2,0)$ kautta. Määritä niiden yhtälöt.

Vihje: Käyrän tangentti pisteessä $(2,0)$ antaa toisen kysytyistä yhtälöistä.

Suorakulmaiset kolmiot $ABC$ ja $DEF$ leikkaavat toisiaan kuvan 5. A mukaisesti. Kolmioiden kateettien pituudet ovat $AB=DF=4$ ja $BC=EF=3$. Lisäksi janan $BF$ pituus on 1. Määritä kolmioiden yhteisen osan pinta-ala.

Kolmiulotteinen koordinaatisto on valittu niin, että maanpinta on $xy$-tasossa ja pituusyksikkönä on metri. Maan alla oleva vesijohto kulkee pisteestä $(0,0,-<!--\; -\; -->2)$ vektorin $3\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{i}+4\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{j}$ suuntaan yhteensä $3$ metriä. Sen jälkeen vesijohto täytyy liittää yhdysputken avulla runkoputkeen, joka kulkee pisteen $(4,4,-<!--\; -\; -->3)$ kautta vektorin $-<!--\; -\; -->2\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{i}+3\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{j}$ suuntaan. Kuinka pitkä yhdysputken on vähintään oltava, jotta se riittää yhdistämään tämän vesijohdon runkoputkeen?

Pitkäaikaisten tilastojen perusteella erään koripalloilijan todennäköisyys heittää pallo vapaaheitolla koriin on $p(0\le <!--\; \le \; -->p\le <!--\; \le \; -->1).$ Rautahermoisena pelaajana hänen heittojensa onnistumistodennäköisyydet ovat riippumattomia aikaisempien heittojen tuloksista ja pelitilanteesta.

Eräässä ottelussa kyseinen pelaaja saa kaksi vapaaheittoa, jotka on heitettävä peräkkäin. Merkitään

$P(0)$ = todennäköisyys sille, että pelaaja ei saa yhtään heittoa koriin
$P(1)$ = todennäköisyys sille, että pelaaja saa täsmälleen yhden heiton koriin
$P(2)$ = todennäköisyys sille, että pelaaja saa kaksi heittoa koriin.

1. Laske $P(2)$, kun $p=0,82$. (3 p.)
2. Määritä $P(2)$, $P(1)$ ja $P(0)$ todennäköisyyden $p$ avulla lausuttuina. (6 p.)
3. Millä todennäköisyyden $p$ arvoilla on $P(1)=P(2)$? (3 p.)

Epäyhtälöt

määrittävät tasoalueen, jonka pinta-alaa merkitään symbolilla $A_n$. Tässä $n\ge <!--\; \ge \; -->2$ on kokonaisluku.

1. Kirjoita lauseke pinta-alalle $A_2$ ja laske sen arvo käyttämättä osatehtävässä 2 annettua kaavaa. (4 p.)
2. Osoita välivaiheineen, että pinta-alan $A_n$ yleinen lauseke on muotoa
   
   
   $$A_n=\frac{1}{n^2-<!--\; -\; -->n},$$

   kun $n\ge <!--\; \ge \; -->2$. (8 p.)

Osoita lukua $1000001!+2$ käyttämällä, että on olemassa miljoona peräkkäistä kokonaislukua, joista yksikään ei ole alkuluku.

Jos olet aloittanut tehtävään vastaamisen, mutta et haluakaan jättää tehtävää arvosteltavaksi, merkitse jokaiseen osatehtävän 10.2. väittämään vaihtoehto "En vastaa" ja tyhjennä vastauskentät 10.1. ja 10.3.

Seuraavia yhtälöitä tarkastellaan vain muuttujan arvoilla $x\in <!--\; \in \; -->[0,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$.

1. Ratkaise yhtälö $\cos <!--\; \; -->x+\sin <!--\; \; -->x=0$. (2 p.)
2. Osoita, että yhtälöllä $(\cos <!--\; \; -->x{)}^2+\cos <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->x+(\sin <!--\; \; -->x{)}^2=0$ ei ole ratkaisua. (4 p.)
3. Selvitä perustellen yhtälön ${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\cos <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->k}(\sin <!--\; \; -->x{)}^k=0}$ kaikki ratkaisut, kun $n=3,4,5,\dots <!--\; \dots \; -->$ (6 p.)

Kaikki ympyrän normaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on ympyrän keskipiste. Tätä havaintoa voidaan käyttää muidenkin käyrien kaarevuussäteiden tutkimiseen seuraavalla tavalla, jossa esimerkkinä käytetään paraabelia $y=x^2$ ja sen pistettä $P$. Tavoitteena on löytää pisteen $P$ kautta kulkevan normaalin ja paraabelin muiden normaalien avulla keskipiste sellaiselle ympyrälle, joka sivuaa paraabelia mahdollisimman tarkasti pisteessä $P$. Tämä keskipiste on paraabelin kaarevuuskeskipiste (pisteen $P$ suhteen) ja sen etäisyys pisteestä $P$ on paraabelin kaarevuussäde (pisteessä $P$).

1. Paraabelin $y=x^2$ pisteeseen $(0,0)$ asetettu normaalisuora $Y$ yhtyy $y$-akseliin. Missä pisteessä $K(t)=(0,k(t))$ paraabelin pisteeseen $T(t)=(t,t^2)$ asetettu normaali leikkaa suoran $Y$, kun $t\ne <!--\; \ne \; -->0$? Katso kuva 12. A. (4 p.)
2. Kun parametri $t$ lähestyy nollaa, niin piste $T(t)$ lähestyy origoa $(0,0)$. Samalla piste $K(t)$ lähestyy erästä pistettä $K(0)$, jonka etäisyyttä origosta kutsutaan paraabelin kaarevuussäteeksi origossa. Mikä on tämä kaarevuussäde? (2 p.)
3. Määritä vastaavaa menetelmää käyttämällä paraabelin $y=x^2$ kaarevuussäde pisteessä $(1,1)$. (6 p.)

Tason monikulmio voidaan esittää järjestettynä listana $[(x_1,y_1),\dots <!--\; \dots \; -->,(x_n,y_n)]$ kärkipisteitä niin, että monikulmion reuna saadaan yhdistämällä peräkkäiset kärkipisteet sekä ensimmäinen ja viimeinen kärkipiste janoilla. Oletetaan, että monikulmion reuna ei leikkaa itseään. Käytössä on menetelmä, joka laskee annetun kolmion pinta-alan, ja se halutaan yleistää monikulmioille.