FI – Matematiikka, pitkä oppimäärä
21.9.2021
Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.
A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.
Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.
Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.
A-osa
Vastaa neljään tehtävään.1. Sopivia lukuja 12 p.
1.1 Mikä on lausekkeen 1-3x arvo, kun x=2? 3 p.
1.2 Jonon (a_n) yleinen termi on muotoa a_n=3\cdot 2^n, n\in \mathbb{N}. Mikä on termi a_3? 3 p.
1.3 Jono (b_n) toteuttaa ehdot b_6=6 ja b_{n+1}=b_n+4, n\in \mathbb{N}. Mikä on termi b_4? 3 p.
1.4 Polynomi (x^2+5x+1)(x+3) kerrotaan auki, jolloin muodostuu kolmannen asteen polynomi. Mikä on sen toisen asteen termin kerroin? 3 p.
2. Geometrisia pikkutehtäviä 12 p.
2.1 Paraabelit y=4x^2 ja y=x^2-1 2 p.
2.2 Pisteiden (1,6) ja (-1,-6) välisen janan keskinormaalin kulmakertoimelle k on voimassa 2 p.
2.3 Ympyrän 9x^2+9y^2=1 säde on 2 p.
2.4 Tasokäyrä koostuu kaikista niistä pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana yhdestä kiinteästä pisteestä ja yhdestä kiinteästä suorasta. Tämä tasokäyrä on 2 p.
2.5 Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä \cos(3x)=0\mathrm{,}5 välillä 0<x<\pi? 2 p.
2.6 Ympyrälle (x-1)^2+(y-1)^2=4 on piirretty tangentti, joka kulkee pisteen (0,-4) kautta. Tangentti 2 p.
3. Integraaleja 12 p.
Jokaisesta osatehtävästä voi saada 4 pistettä.
- Laske
\int (x^2+1) \, dx.
- Laske
\int_{0}^{\frac \pi 2} \cos(2x) \, dx.
- Laske
\int_{-1}^1 |x|^3 \, dx.
4. Tasokäyrä 12 p.
Tarkastellaan vektoreita \overline v(t) = t\, \overline{i} + \dfrac1{t^2}\, \overline{j}, kun t>0.
- Laske pistetulo (\overline{i} - \overline{j})\cdot \overline v(3). (3 p.)
- Määritä vektorin \overline v(3) pituus. (2 p.)
- Millä muuttujan t>0 arvolla vektori \overline v(t) on mahdollisimman lyhyt? (7 p.)
Tällaista jatkuvaa vektoriarvoista funktiota kutsutaan käyrän parametrisoinniksi.
Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.
B1-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.5. Ilmanpaine 12 p.
Ilmanpaine pienenee maanpinnalta ylöspäin noustaessa kaavan
p(h) = p_0 \Big(1- \frac{0{,}00976 h}{T_0}\Big)^{3{,}50}
mukaisesti, kun p_0 ja T_0 ovat ilmanpaine ja lämpötila maanpinnalla (yksikköinä kPa ja K), ja h on korkeus maanpinnalta (m). Lentokoneen lähtiessä nousuun on p_0=101{,}3 (kPa) ja T_0=301 (K). Kuinka monta prosenttia ilmanpaine muuttuu, kun lentokone nousee kahden kilometrin korkeudesta kolmen kilometrin korkeuteen?
6. Yhtälöitä tasossa 12 p.
- Tasojoukko A koostuu niistä pisteistä (x,y), joiden etäisyys pisteestä (-3,1) on 4. Mikä yhtälö kuvaa joukon A pisteitä? Miksi joukon A pisteitä ei voida esittää muodossa y=f(x) minkään funktion f avulla? (6 p.)
- Määritä niiden ympyröiden yhtälöt, joiden keskipiste on (1,2) ja jotka sivuavat ympyrää x^2+(y-2)^2=4. (6 p.)
7. Avaruuskappale 12 p.
Tämä tehtävä on tarkoitettu ratkaistavaksi ohjelmistolla. Vastaukset voi antaa likiarvoina, ja perusteluiksi riittävät kuvakaappaukset tai selitykset, joista ilmenee, mitä on mitattu. Tehtävän voi myös ratkaista algebrallisesti laskemalla. Tarkastellaan monitahokasta M = A B C D E F, jonka pohja A B C D E on säännöllinen viisikulmio ja jonka sivutahkot ovat tasasivuisia kolmioita.
- Piirrä kuva monitahokkaasta M. (4 p.)
- Määritä monitahokkaan M särmän AF ja pohjan välinen kulma. (2 p.)
- Määritä monitahokkaan M tahkon ABF ja pohjan välinen kulma. (2 p.)
- Määritä monitahokkaan M tilavuus, kun särmän pituus on a. (4 p.)
8. Raja-arvon suhteellinen virhe 12 p.
Tarkastellaan raja-arvoa
\lim_{t\to \frac\pi4} \frac{\sin t - \frac1{\sqrt2}}{t-\frac\pi 4}.
- Laske raja-arvolle likiarvot, kun t-\frac\pi 4 = 10^{-k}, k=2,3,4. (4 p.)
Osoita, että raja-arvon tarkka arvo on \frac1{\sqrt2} tulkitsemalla tutkittava lauseke erotusosamääräksi. (4 p.)
- Määritä osatehtävässä 1 laskemiesi likiarvojen suhteelliset virheet. (4 p.)
9. Tilin tyhjennys 12 p.
Mikko tyhjentää tilinsä nostamalla pankkiautomaatista 370 euroa. Automaatti antaa hänelle x kappaletta kahdenkymmenen ja y kappaletta viidenkymmenen euron seteleitä.
- Muodosta tapahtumaa kuvaava yhtälö, jonka luvut x ja y toteuttavat. (3 p.)
- Kuinka monella eri tavalla automaatti voi antaa 370 euroa pelkkinä 20 ja 50 euron seteleinä? Seteleiden järjestystä ei oteta huomioon. (9 p.)
B2-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.10. Osittaisderivaatta 12 p.
Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota
f(x,y)=x^4+32x+y^2-6y+60.
- Laske funktion f osittaisderivaatat f_x ja f_y. (4 p.)
Oletetaan tunnetuksi, että tämän funktion f pienin arvo saadaan siinä tason pisteessä, jossa yhtälöpari
\begin{cases} f_x=0 & \\ f_y=0 & \\ \end{cases}
toteutuu (ks. kuva 10.A). Määritä funktion f pienin arvo tätä tietoa käyttämällä. (8 p.)
Huomautus: Osittaisderivaatalle f_x käytetään myös merkintöjä f'_x, D_x f, D_1 f, \dfrac{\partial f}{\partial x} ja \partial_1 f; vastaavalla tavalla osittaisderivaatalle f_y.
11. Noppapeli 12 p.
Eräässä pelissä kaksi pelaajaa A ja B heittävät noppaa vuorotellen, kunnes toinen pelaaja voittaa ja peli loppuu.
Pelaaja A voittaa pelin, jos hän heittää vuorollaan tuloksen 1 tai 2.
Pelaaja B voittaa pelin, jos hän heittää vuorollaan tuloksen 1, 2 tai 3.
Pelaaja A aloittaa.
- Millä todennäköisyydellä peli päättyy siihen, että A voittaa ensimmäisellä heitollaan? (2 p.)
- Millä todennäköisyydellä peli päättyy siihen, että B voittaa ensimmäisellä heitollaan? (4 p.)
- Mikä on kummankin pelaajan todennäköisyys voittaa peli? (6 p.)
12. Paraabelialueita 12 p.
Tarkastellaan paraabeleja, jotka kulkevat pisteiden (-1, 0) ja (1, 0) kautta ja ovat y-akselin suhteen symmetrisiä.
- Kirjoita tällaisen paraabelin yleinen yhtälö. (2 p.)
- Millä ehdolla kaksi tällaista paraabelia leikkaa toisensa kohtisuorassa? (5 p.)
- Tarkastellaan pinta-alaa, joka jää kahden tällaisen toisensa kohtisuoraan leikkaavan paraabelin väliin. Mikä on tämän pinta-alan pienin mahdollinen arvo? (5 p.)
13. Eksponenttiyhtälö 12 p.
Tutki yhtälön e^{ax} = \ln x positiivisten ratkaisujen lukumäärää kaikilla parametrin a>0 eri arvoilla.
Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.