Normaalijakauma: laskuesimerkki

Ratkaise tehtävä. Vihjeet ja ratkaisut harmaiden ja sinisten huutomerkkien takana.

Likiarvo saadaan esimerkiksi taulukkokirjasta. Yleensä tämä normaalijakauman kertymäfunktio kuvataan taulukkona, jossa vasemmasta pystysarakkeesta luetaan kysyttävän luvun ykköset ja kymmenesosat ja ensimmäiseltä vaakariviltä valitaan sen sadasosat. Nyt etsitään siis kohdat 2,0 ja 0 ja näiden risteyskohdasta löytyy luku numerosarja 9772, joka tulkitaan desimaaliluvuksi 0,9772.

Kyseinen funktio ilmoittaa siis sen todennäköisyyden, että arvo osuu jonnekin normaalijakauman osoittamalla pinta-alalle ennen kohtaa a.

1. Oletetaan, että x noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Laske todennäköisyys, että x saa arvon, joka on pienempi kuin 2.

Normaalijakaumaa koskevia laskuja suoritetaan seuraavalla tavalla taulukkokirjan avulla. Tutkitaan normitettua normaalijakaumaa, sen keskiarvo on siis 0 ja keskihajonta 1. Taulukkoon on merkitty todennäköisyyksien arvoja sille, että saadaan muuttujan arvoa pienempi arvo, sitä kuvataan seuraavasti:

Funktiota kuvaava merkki on kreikankielen aakkonen fii ja funktion arvo voidaan lukea suoraan taulukkokirjasta. Normaalijakaumassa todennäköisyys, että päädyttäisiin yhteen tiettyyn arvoon ajatellaan nollaksi. Näin ollen ei ole merkitystä onko muuttuja pienempi vai pienempi tai yhtäsuuri.

Yleensä normaalijakaumaa käytettäessä arvot eivät kuitenkaan ole normitettuja. Esimerkiksi pituuden tai ylioppilaskokeen arvot ovat positiivisia. Jotta nämä arvot voidaan sijoittaa taulukkoon, ne pitää normittaa.

2. Mikä on todennäköisyys, että normitettua normaalijakaumaa noudattava muuttuja x saa arvon väliltä -1,57 ja 1,7.

Seuraavaa lausetta voidaan käyttää, jos kysytäänkin kahden arvon väliin jäävää aluetta.

Taulukoissa on kuitenkin usein mainittu vain arvot, jotka ovat nollaa suurempia. Normaalijakauma on symmetrinen ja yhteensä todennäköisyyden arvon pitää olla yksi, joten negatiiviset arvot saadaan seuraavasta kaavasta.

3. Merkintätapa tarkoittaa, että x:n arvot noudattavat normaalijakaumaa, mutta muuttujien keskiarvo on 60 ja keskihajonta on 12. Tutkitaan nyt, miten suuri osa muuttujan arvoista on pienempiä kuin 70.

Otetaan käyttöön apumuuttuja z, joka noudattaa normitettua normaalijakaumaa ja jolla on seuraava yhteys x:n kanssa.

Tehtävässä voidaan siis normittaa kysytty arvo 70.

Tulosta